Conteúdos
– A Soma de Gauss ou Padrão de Gauss
Objetivos
– Calcular a soma de uma sequência de números naturais utilizando a Soma de Gauss
1ª Etapa: Início de conversa
O tratamento de sequências numéricas, dos padrões numéricos e das generalizações é tópico importante do conteúdo do ensino fundamental II.
O objetivo desse plano de aula é apresentar ao estudante um método surpreendente de somar números naturais em uma sequência, desenvolvido pelo matemático, Johann Carl Friedrich Gauss, no final do século XVIII.
2ª Etapa: Motivação dos estudantes e diagnóstico do conhecimento prévio
O (A) professor (a) poderá iniciar a aula partindo do seguinte desafio:
Desafio: calcule a soma dos números naturais de 1 até 100:
1+2+3+…+98+99+100
Em 10 minutos, interromperá os estudantes e perguntará a resposta. Provavelmente, nenhum estudante conseguirá finalizar o cálculo em 10 minutos. O (A) professor (a) introduzirá a história do jovem Gauss e como ele resolveu esse mesmo problema de forma genial, quando ainda era uma criança.
Não se sabe ao certo se trata-se de uma história verdadeira, porém, conta-se que Gauss sempre foi bom estudante em matemática. Certo dia, por algum comportamento inadequado da sala, o seu professor de matemática decidiu aplicar um longo exercício durante a aula. Os estudantes seriam obrigados a calcular a soma dos números de 1 até 100. Em poucos minutos, Gauss apresentou sua resposta. Ao conferir o resultado, o professor muito surpreso, verificou que a resposta de Gauss estava correta. Como será que ele fez isso?
3ª Etapa: A soma de Gauss
A estratégia que Gauss utilizou foi muito inteligente. Ao invés de calcular 1+2+3…+98+99+100 somando 1+2 = 3, 3+4 = 7 e assim por diante, ele teve um olhar muito aguçado. O jovem matemático decidiu analisar as somas dos pares formados pelo primeiro e último número da sequência, segundo e penúltimo número, terceiro e antepenúltimo número e assim sucessivamente. Veja o cálculo que ele obteve:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
4 + 97 = 101
.
.
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50+51 = 101
Gauss observou esse belo padrão, isso significa que na soma de 1 até 100 obteremos 50 vezes o número 101. Então para efetuar 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100, basta fazer 50 x 101 que resulta em 5.050. Essa técnica é conhecida como soma de Gauss.
Uma outra forma de observar a soma de Gauss é por meio do seguinte diagrama, que pode vir a ser interessante o (a) professor (a) reproduzir na lousa:
Note que, como temos 100 algarismos na sequência 1, 2, 3, … , 98, 99, 100, conseguimos formar 50 pares. Utilizando o raciocínio de Gauss, cada par, se for bem escolhido, resulta em 101. Portanto, a soma dos termos da sequência 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 vale 50 x 101, isto é , 5.050.
4ª Etapa: Exercitando o que foi aprendido
Agora chegou a hora do (a) professor (a) oferecer aos estudantes a oportunidade de exercitar o conteúdo apresentado. Trata-se de um tópico desafiador e o suporte do (a) professor (a) é essencial para que o estudante consiga acompanhar cada etapa. Os exercícios abaixo poderão ser utilizados como exemplos, caso o (a) professor (a) sinta que a classe necessite acompanhar mais algumas vezes as ideias apresentadas previamente.
Exercício 1: calcule a soma de todos os números de 1 até 200.
Resposta: 20.100. Note que, utilizando a Soma de Gauss, teremos 100 pares, somando 201 cada. Portanto, basta fazer 100 x 201 que resulta em 20.100.
Exercício 2: calcule a soma de todos os números de 1 até 300.
Resposta: 45. 150. Note que, utilizando a Soma de Gauss, teremos 150 pares, somando 301 cada. Portanto, basta fazer 150 x 301 que resulta em 45. 150.
Podemos utilizar o padrão de Gauss para o caso de sequências de números naturais com uma quantidade ímpar de membros. Antes de pedir aos estudantes para pensar sobre isso, dois exemplos serão apresentados:
Exemplo: calcule a soma de todos os números de 1 até 99.
Aqui há duas estratégias, a estratégia B é a mais interessante e menos imediata para estudantes desse ciclo. Detalhe-a e, se necessário, explore mais exemplos.
Estratégia A – Poderá somar todos os algarismos, de 1 até 98, utilizando a Soma de Gauss e, em seguida, somar ao valor obtido, 99. Resultarão 49 pares, somando 99 cada. Portanto, basta fazer 49 x 99 = 4. 851 e somar a isso o último elemento da sequência que faltou, isto é, 99. O resultado então é: 4. 851 + 99 = 4.950.
Estratégia B – Esse é o método mais interessante, pois oferece uma solução mais rápida do problema. O que se faz é somar a quantidade de elementos da sequência e dividir por dois para saber quantos pares resultarão. Então, temos 99 elementos, logo teremos 49,5 pares. O que se deve observar é que, apesar de 49,5 não ser um número inteiro, o resultado vale. Logo, para obter o resultado da soma, basta multiplicar a quantidade de pares pelo valor da soma de cada par. Nessa situação, teremos 49,5 pares, somando 100 cada, portanto, o resultado é 49,5 x 100 = 4.950.
Exercício 3: calcule a soma de todos os números de 101 até 201.
Resposta: 45 .150. Note que utilizando, a Soma de Gauss, teremos 50,5 pares, somando 302 cada. Portanto, basta fazer 50,2 x 302 que resulta em 15. 251.
Além de problemas desse tipo, pode ser estimulante resolver problemas utilizando esse raciocínio. Veja um exemplo:
Exemplo: existe um tipo de rifa em que a pessoa sorteia um bilhete, que será o número com que vai concorrer e, também, quanto vai pagar por ele. Por exemplo, se o jogador sortear o bilhete número 41, pagará R$ 41,00 pela aposta e concorrerá com o número 41 no sorteio do prêmio. Suponha que os bilhetes a serem sorteados são numerados de 1 até 130. Qual é o valor total que pode ser arrecadado por essa rifa?
Resposta: basta somar todos os números de 1 até 130 utilizando a Soma de Gauss. Obteremos 8.515.
Outro tipo de problema, que é resolvido utilizando também a Soma de Gauss, é obtido pela variação do tipo de sequência que se considera. O (A) professor (a) poderá propor esse último com o caráter de desafio.
Exercício desafio: calcule a soma de todos os números pares de 2 até 200.
Resposta: 20.200. Note que, utilizando a Soma de Gauss, teremos 50 pares (temos 100 números compondo essa sequência), somando 202 cada. Portanto, basta fazer 100 x 202 que resulta em 20.200.
Para encerrar a aula, poderá ser interessante concluir com um diálogo sobre quais foram as impressões desse tipo de problema. O (A) professor (a) irá convidar a classe para refletir sobre como as dificuldades foram superadas com a estratégia matemática adequada.
Materiais Relacionados
1 – Recomenda-se que o (a) professor (a) conheça o problema do padrão de Gauss e o mito de sua origem. Poderá verificar um pouco da técnica e conhecer o mito nesse link.