Conteúdos
– Conjuntos numéricos
– Conjuntos enumeráveis
– Infinito numérico
– Padrão numérico
– Sequências numéricas
Objetivos
– Explorar padrões numéricos
– Trabalhar o conceito de finito e infinito, utilizando sequências numéricas
– Compreender que há infinitos de tamanhos iguais e diferentes
– Diferenciar os conceitos de infinitamente grande e infinitamente pequeno
1ª Etapa: Início de conversa
O conceito de infinito costuma aparecer no ensino fundamental II como característica de algum tema principal e, apesar de manifestar-se como conjuntos, sequências e múltiplos, por exemplo, não é comum ver em materiais didáticos um espaço que incentive essa discussão de forma estruturada. O tema pode surgir como curiosidade dos alunos ou pode ser uma boa oportunidade de convidá-los a trabalhar pensamentos abstratos, argumentos lógicos e generalizações matemáticas.
Para iniciar essa sequência de aulas, o (a) professor (a) trabalhará os conceitos de padrões numéricos e sequências numéricas. Nesse momento, é muito importante trabalhar sequências diversificadas, das mais simples e comuns até aquelas que são menos intuitivas, convidando os alunos a descobrirem e generalizarem o padrão numérico apresentado em cada uma delas e enfatizando a importância de organizar a apresentação dos padrões, de modo a não possibilitar conclusões ambíguas.
2ª Etapa: Investigando as sequências numéricas
Reservar um tempo para investigar e discutir sobre características de cada sequência é muito importante. O aluno poderá descobrir se há sequências contidas em outras (por exemplo: a sequência dos números pares faz parte da sequência de números naturais), se há diferentes formas de representar o padrão de uma sequência, o que diferentes sequências têm em comum etc.
Na primeira etapa, provavelmente surgirão sequências como: sequência de números pares e ímpares, de números naturais, de múltiplos de 3 e 4, de números quadrados, de números primos, entre outras. Dentre diversas observações, a quantidade infinita de números surgirá como algo que todas essas têm em comum. E, nesse momento, vale a pena perguntar: O que sabemos sobre o infinito de cada uma delas?
Nessa etapa, o papel do (a) professor (a) será de mediador(a), ficará responsável por organizar e estimular o debate em sala. É necessário ter perguntas já elaboradas para motivar e induzir a discussão entre os alunos. Algumas sugestões de perguntas:
i) Há a mesma quantidade de números pares do que de números ímpares?
ii) Há a mesma quantidade de números positivos do que de números negativos?
iii) Há a mesma quantidade de números inteiros do que de números pares?
iv) Quantos números reais há entre 0 e 1? É a mesma quantidade que há entre 0 e 2?
v) Todos os infinitos são iguais?
vi) Há infinitos de tamanhos diferentes?
vii) Podemos contar um infinito?
viii) Todos infinitos são contáveis?
3ª Etapa: Sistematizando conclusões
Nessa faixa etária, conclusões matemáticas mais generalizadas e polêmicas não costumam ter espaço para ser debatidas com certa profundidade, porém, atentando ao conhecimento prévio de cada turma e com uma sequência de aulas bem organizada, é possível dar margem para a imaginação e curiosidade dos alunos.
Para validar a discussão feita na segunda etapa, é importante finalizar o debate apresentando, por meio de argumentações organizadas, as principais conclusões que pôde-se obter. Os objetivos da terceira etapa são:
1 – Concluir que existem diferentes tipos de infinitos;
2 – Usar argumentos da contagem de elementos e cardinalidade de conjuntos para concluir sobre conjuntos numéricos equivalentes;
3 – Introduzir a ideia de conjuntos enumeráveis e não enumeráveis.
4ª Etapa: Infinitamente grande e Infinitamente pequeno
Algumas experiências reais podem naturalizar a ideia de que infinito ou quantidade infinita estão relacionados a algo muito grande, porém, é importante desconstruir conclusões equivocadas desde cedo, para que os alunos desenvolvam uma postura investigativa em relação ao conhecimento.
Duas sugestões para se pensar sobre os termos infinitamente grande e infinitamente pequeno são, nessa ordem:
I. O Hotel de Hilbert:
O Hotel de Hilbert é um hotel que não deixava nenhum viajante sem quarto, isso ocorria por ter infinitos quartos e um esperto gerente. Os quartos são todos numerados utilizando-se os inteiros positivos.
Sugestões de materiais:
“O infinito garante: hotel de Hilbert não lota nunca!”.
“Hotel de Hilbert – recursos educacionais multimídia”.
“O Hotel do Paradoxo do Infinito — Jeff Dekofsky”.
II. O Paradoxo de Zenão
Com implicações na física e na matemática, esse paradoxo é um convite à reflexão, sua formulação permite pensar sobre o infinito, tempo, movimento, número etc.
Sugestões de materiais:
“Sobre o movimento e o paradoxo de Zenão”.
“O que é o Paradoxo da Dicotomia de Zenão? — Colm Kelleher”.
“60 Segundos de Aventuras no Pensamento – 1. Aquiles e a Tartaruga”.
5ª Etapa: Encerramento do tópico com a experiência do Espelho Infinito
Uma boa maneira de finalizar um conceito trabalhado é colocando em prática as ideias discutidas em aula. Nessa etapa final, é sugerida uma atividade experimental que trabalha os conceitos de ótica na elaboração de um espelho infinito. Além de possibilitar uma aula não convencional, pode ser uma oportunidade de trabalhar de maneira interdisciplinar, junto ao (a) professor (a) de ciências e/ou de física.
A sugestão de atividade pode ser encontrada no Canal Manual do Mundo.
Materiais Relacionados
1 – Uma leitura simplificada sobre o tema pode ser encontrada no artigo “Infinito, esse troço que não acaba”. Revista Super Interessante, 2016.
2 – Recomenda-se uma leitura prévia sobre a história do infinito. Sugestão: Uma Breve História do Infinito, Richard B. Morris, Jorge Zahar, 1997. Confira uma resenha do livro.
3 – Uma leitura teórica sobre “Conjuntos Infinitos” pode ser encontrada em: Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Infinitos.